Question

14．已知函数f（x）=ax³+2x-a，
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若a=n，且n∈N^*，设x_n是函数${f_n}（x）=n{x^3}+2x-n$的零点，证明：当n≥2时存在唯一x_n，且${x_n}∈（\frac{n}{n+1}，1）$．

Answer 1

分析 （1）对f（x）求导得到单调区间；（2）由（1）得，f_n（x）=nx³+2x-n在R上单调递增，证明f_n（$\frac{n}{n+1}$）=-（$\frac{n}{n+1}$）³（ $\frac{{n}^{2}-n-1}{{n}^{2}}$）即可．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²+2，
若a≥0，则f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；
若a＜0，令f'（x）＞0，∴x＞$\sqrt{\frac{2}{3a}}$或x＜-$\sqrt{\frac{2}{3a}}$，
函数f（x）的单调递增区间为（-∞，$\sqrt{\frac{2}{3a}}$）和（$\sqrt{\frac{2}{3a}}$，+∞）；
（2）证明：由（1）得，f_n（x）=nx³+2x-n在R上单调递增，
又f_n（1）=n+2-n=2＞0，
f_n（2）=n2³+2×2-n=8n+4-n=7n+4＞0，
f_n（$\frac{n}{n+1}$）=n（$\frac{n}{n+1}$）³+2（$\frac{n}{n+1}$）-n=-（$\frac{n}{n+1}$）³（ $\frac{{n}^{2}-n-1}{{n}^{2}}$），
当n≥2时，g（n）=n²-n-1＞0，fn（$\frac{n}{n+1}$）＜0，
n≥2时存在唯一x_n且xn∈（$\frac{n}{n+1}$，1）．

点评 本题主要考查了导数的求单调区间的方法以及函数的零点问题，是一道中档题．