Question

15．已知函数f（x）=lnx+ax（a∈R）．
（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）如果函数g（x）=f（x）+$\frac{2}{x}$在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出g（x）的导数，分离出参数a，根据函数的单调性求出函数的最小值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）根据题意，f（x）=lnx-x，定义域为x∈（0，+∞）（1分）
$f'（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$（2分），f'（x）＞0⇒x＜1，f'（x）＜0⇒x＞1（13分）
故在区间（0，1）函数单调递增，在区间（1，+∞）函数单调递减  （4分）；
（2）$g（x）=lnx+ax+\frac{2}{x}$，$g'（x）=\frac{1}{x}+a-\frac{2}{x^2}$（5分）
函数（0，+∞）上单调递减，导数在（0，+∞）上g'（x）≤0恒成立（6分）
参变分离$\frac{1}{x}+a-\frac{2}{x^2}≤0⇒a≤\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x}$（7分），
令$h（x）=\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x}$，只需a≤h（x）_min即可，
$h'（x）=-\frac{4}{x^3}+\frac{1}{x^2}=\frac{x-4}{x^3}$（9分）函数在区间（0，4）函数单调递减，在区间（4，+∞）函数单调递增  （10分），
∴$h{（4）_{min}}=\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x}=-\frac{1}{8}$$a≤-\frac{1}{8}$（12分）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道中档题．