Question

19．已知抛物线C：y²=4x的焦点F，线段PQ为抛物线C的一条弦．
（1）若弦PQ过焦点F，求证：$\frac{1}{FP}+\frac{1}{FQ}$为定值；
（2）求证：x轴的正半轴上存在定点M，对过点M的任意弦PQ，都有$\frac{1}{{M{P^2}}}+\frac{1}{{M{Q^2}}}$为定值；
（3）对于（2）中的点M及弦PQ，设$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{MQ}$，点N在x轴的负半轴上，且满足$\overrightarrow{NM}⊥（{\overrightarrow{NP}-λ\overrightarrow{NQ}}）$，求N点坐标．

Answer 1

分析 （1）设出直线PQ的方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理求得x₁x₂的值，由抛物线的定义分别表示出|FP|，|FQ|，代入$\frac{1}{FP}+\frac{1}{FQ}$整理得到定值，最后验证斜率不存在时的情况；
（2）设出直线PQ的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和两点的距离公式，化简整理，即可求得定点M和定值；
（3）运用向量共线的坐标表示和向量垂直的条件，化简整理即可求得定点N．

解答 解：（1）证明：抛物线的焦点为F（1，0），
设直线PQ的方程为y=k（x-1）（k≠0），
代入抛物线方程，消去y，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
由根与系数的关系，得x₁x₂=1，x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，
由抛物线的定义，知|FP|=x₁+1，|FQ|=x₂+1．
$\frac{1}{FP}+\frac{1}{FQ}$=$\frac{1}{{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$
=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2}{{x}_{1}{x}_{2}+（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$=$\frac{2+\frac{4}{{k}^{2}}+2}{1+2+\frac{4}{{k}^{2}}+1}$=1为定值．
当PQ⊥x轴时，|FP|=|FQ|=2，上式仍成立；
（2）证明：设M（m，0），当PQ⊥x轴时，令x=m，可得y²=4m，
|MP|=|MQ|=2$\sqrt{m}$，有$\frac{1}{{M{P^2}}}+\frac{1}{{M{Q^2}}}$为定值$\frac{1}{2m}$．
当PQ斜率存在时，设PQ：x=ty+m，代入抛物线方程可得，
y²-4ty-4m=0，设P（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），Q（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），
则y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4m．
即有|MP|²=（m-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$）²+y₁²=$\frac{（-{y}_{1}{y}_{2}-{{y}_{1}}^{2}）^{2}}{16}$+y₁²=（1+t²）y₁²，
同理|MQ|²=（m-$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$）²+y₂²=（1+t²）y₂²．
即有$\frac{1}{{M{P^2}}}+\frac{1}{{M{Q^2}}}$=$\frac{1}{1+{t}^{2}}$•$\frac{16{t}^{2}+8m}{16{m}^{2}}$，
存在m=2即有定点M（2，0）时，上式为$\frac{1}{1+{t}^{2}}$•$\frac{16（1+{t}^{2}）}{64}$=$\frac{1}{4}$为定值；
（3）$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{MQ}$，可得$\overrightarrow{NM}$=$\frac{\overrightarrow{NP}+λ\overrightarrow{NQ}}{1+λ}$，
$\overrightarrow{NM}⊥（{\overrightarrow{NP}-λ\overrightarrow{NQ}}）$，可得（$\overrightarrow{NP}$+λ$\overrightarrow{NQ}$）•（$\overrightarrow{NP}$-λ$\overrightarrow{NQ}$）=0，
即为NP²=λ²NQ²，
由P（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），Q（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），M（2，0），
设$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MQ}$，
则y₁=-λy₂，①2-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$=λ（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$-2），②
又设N（n，0）（n＜0），则（n-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$）²+y₁²=λ²[（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$-n）²+y₂²]，
即为$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$-n=λ（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$-n），③
将①平方可得，y₁²=λ²y₂²，④，
将④代入②③，化简可得n=-2．
则N（-2，0）．

点评 本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的关系．同时考查向量垂直的条件和向量共线的坐标表示，注意运用韦达定理和抛物线的定义是解题的关键，具有一定的运算量，属于中档题．