Question

11．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B=2C，2b=3c．
（1）求cosC；
（2）若c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意和正弦定理列出方程后，由二倍角的正弦公式化简后求出cosC；
（2）由条件求出b，由内角的范围和平方关系求出sinC，由余弦定理列出方程化简后求出a，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．

解答 解：（1）∵B=2C，2b=3c，
∴由正弦定理得，$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
则$\frac{b}{2sinCcosC}=\frac{c}{sinC}$，即cosC=$\frac{b}{2c}$=$\frac{3}{4}$；
（2）∵2b=3c，且c=4，∴b=6，
∵0＜C＜π，cosC=$\frac{3}{4}$，
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcosC，
则$16={a}^{2}+36-2a×6×\frac{3}{4}$，
即a²-9a+20=0，解得a=4或a=5，
当a=4时，△ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×4×6×\frac{\sqrt{7}}{4}$=$3\sqrt{7}$，
当a=5时，△ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×5×6×\frac{\sqrt{7}}{4}$=$\frac{15\sqrt{7}}{4}$．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理，三角形的面积公式，以及二倍角的正弦公式等的应用，考查化简、变形能力．