Question

2．已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx，（a∈R）
（1）当a=1时，求函数y=$\frac{g（x）}{f（x）}$在点（1，0）处的切线方程；
（2）若在[1，+∞）上不等式xf（x-1）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，求导数，求出切线的斜率，即可求函数y=$\frac{g（x）}{f（x）}$在点（1，0）处的切线方程；
（2）设函数G（x）=a（x²-x）-lnx，且G（1）=0，分类讨论，即可，求实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，函数y=$\frac{g（x）}{f（x）}$=$\frac{lnx}{x}$，
∴y′=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴x=1时，y′=1，
∴函数y=$\frac{g（x）}{f（x）}$在点（1，0）处的切线方程为y=x-1；
（2）设函数G（x）=a（x²-x）-lnx，且G（1）=0．
G′（x）=$\frac{2a{x}^{2}-ax-1}{x}$
①当a≤0时，有G（2）=2a-ln2＜0，不成立，
②当a＜0时，（i）a≥1时，G′（x）=$\frac{2a{x}^{2}-ax-1}{x}$，当x≥1时，G′（x）≥0
所以G（x）在（0，+∞）上是单调增函数，所以G（x）≥G（1）=0
（ii）0＜a＜1时，设h（x）=2ax²-ax-1，h（1）=a-1＜0，
所以存在x₀，使得x∈（1，₀）时，h（x）＜0，∴G′（x）＜0，G（x）＜G（1）=0不成立
综上所述a≥1．

点评 考查基本初等函数求导公式，商的导数的计算公式，考查导数的几何意义，以及函数单调性定义，构造函数的方法．