Question

【题目】已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间及极值；

（3）对， 成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）单调递减区间为，单调递增区间为．极小值为，无极大值．（3）

【解析】试题分析：（1）由题意知函数的定义域，对求导，求出在处切线的斜率，联系切点坐标即可求出切线方程；（2）由题意得函数的解析式，对求导，分别求出和即可求出单调区间及极值；（3）对， 恒成立等价于对， ，构造新函数，将求导，对进行分类讨论，求出单调性及最值，即可求出的取值范围.

试题解析：（1）由题意知的定义域为且， ，

又∵，故切线方程为．

（2）， ，

当时，则， ，此时， 在上单调递减；

当时，则， ，此时， 在上单调递增．　

故的单调递减区间为，单调递增区间为．

当时， 取极小值，且极小值为， 无极大值．

（3）对， 成立，即，

令，则当时， 恒成立，

因为，

①当时， ， 在上单调递增，故，

这与恒成立矛盾；

②当时，二次方程的判别式，令，解得，此时， 在上单调递减，

故，满足恒成立．　

由，得，方程的两根分别是， ，其中， ，

当时， ， 在上单调递增， ，这与恒成立矛盾．

综上可知： ．