Question

8．在△ABC中，边AB，AC所在直线的方程分别为2x-y+7=0，x-y+6=0，已知M（1，6）是BC边上一点．
（1）若AM为BC边上的高，求直线BC的方程；
（2）若AM为BC边的中线，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）分别求出A的坐标以及BC的斜率，代入直线方程即可；
（2）输出B的坐标，表示出C的坐标，得到方程组，求出B、A、M的坐标，结合点到直线的距离公式求出AM的值，求出三角形的面积即可．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}2x-y+7=0\\ x-y+6=0\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=5\end{array}\right.$，即A（-1，5），
又M（1，6），所以${k_{AM}}=\frac{6-5}{1-（-1）}=\frac{1}{2}$，
因为AM为BC边上的高，所以k_BC=-2，
M（1，6）为BC边上一点，
所以l_BC：y-6=-2（x-1），
所以直线BC的方程为2x+y-8=0．         
（2）设点B的坐标为（a，b），由M（1，6）为BC的中点，
得点C的坐标为（2-a，12-b），
又点B与点C分别在直线AB和AC上，
所以$\left\{\begin{array}{l}{2a-b+7=0}\\{（2-a）-（12-b）+6=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=1}\end{array}\right.$，
所以点B的坐标为（-3，1），
由（1）得A（-1，5），又M（1，6），
所以直线AM的方程为x-2y+11=0，
所以点B到直线AM的距离$d=\frac{{|{-3-2×1+11}|}}{{\sqrt{{1^2}+{{（-2）}^2}}}}=\frac{{6\sqrt{5}}}{5}$，
又$|{AM}|=\sqrt{{{（-1-1）}^2}+{{（5-6）}^2}}=\sqrt{5}$，
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$d|AM|=$\frac{1}{2}$×$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$=3，
又M为BC的中点
所以S_△ABC=2S_△BAM=2×3=6．

点评 本题考查了求直线方程问题，考查点到直线的距离以及三角形的面积公式，是一道中档题．