Question

13．已知递增等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₃a₅=45，S₇=49，则数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和为（　　）

• A． $\frac{2n}{2n-1}$
• B． $\frac{n}{2n-1}$
• C． $\frac{2n}{2n+1}$
• D． $\frac{n}{2n+1}$

Answer 1

分析 通过设{a_n}的公差为d，利用a₃a₅=45，S₇=49，联立方程组，进而可求出第四项和公差，然后求解通项公式，化简数列的通项公式，裂项、并项相加求和即可．

解答 解：（1）设{a_n}的公差为d，则由题意递增等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₃a₅=45，S₇=49，知a₄=7，
（7-d）（7+d）=45，即-d²=-4
解得d=2，
∴a_n=7+（n-4）×2=2n-1．
（2）∵$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$），
∴数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和为：$\frac{1}{2}[1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．
故选：D．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．