Question

2．生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需要另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=$\frac{1}{360}{x^3}$+20x（万元），当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+$\frac{10000}{x}$-1450（万元），通过市场分析，每件商品售价为0.05万元时，该商品能全部售完．
（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式（利润=销售额-成本）；
（2）年产量为多少千件时，生产该商品获得的利润最大．

Answer 1

分析 （1）因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1000x万元，推出当0≤x＜80时，当x≥80时，的函数的解析式即可．
（2）当0≤x＜80时，利用函数的导数求解函数的最值，当x≥80时，利用基本不等式求解函数的最值，推出结果．

解答 解：（1）因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1000x万元，
依题意得，当0≤x＜80时，$L（x）=（{0.05×1000x}）-\frac{1}{360}{x^3}-20x-250$=$-\frac{1}{360}{x^3}+30x-250$，
当x≥80时，$L（x）=（{0.05×1000x}）-51x-\frac{10000}{x}+1450-250$=$1200-（{x+\frac{10000}{x}}）$．
$\begin{array}{l}即L（x）=\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{360}{x^3}+30x-2500≤x＜80\\ 1200-（{x+\frac{10000}{x}}）x≥80.\end{array}\right.\end{array}$…（8分）
（2）当0≤x＜80时，$L（x）=-\frac{1}{360}{x^3}+30x-250$．
${L^′}（x）=-\frac{1}{120}{x^2}+30=0$，x=±60．
此时，当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950（万元）…（12分）
当x≥80时，$L（x）=1200-（{x+\frac{10000}{x}}）≤1200-2\sqrt{x•\frac{10000}{x}}=1000$，…（14分）
当且仅当$x=\frac{10000}{x}$，即x=100时，L（x）取得最大值1000（万元）．
因为950＜1000，所以当年产量为100千件时，生产该商品获利润最大．
答：当年产量为100 千件时，生产该商品获利润最大．…（16分）

点评 本题考查实际问题的应用，分段函数以及函数的最值的求法，函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力．