Question

【题目】已知函数f（x）= sinωx+cosωx+c（ω＞0，x∈R，c是常数）图象上的一个最高点为（ ，1），与其相邻的最低点是（ ，﹣3）．
（1）求函数f（x）的解析式及其对称中心；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 =﹣ ac，试求函数f（A）的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）= sinωx+cosωx+c（ω＞0，x∈R，c是常数）

化简得：f（x）=2sin（ωx+ ）+c；

∵2sin（ωx+ ）∈[﹣1，1]，即f（x）的最大值为2+c．

函数f（x）图象上的一个最高点为纵坐标为1，即最大值为1，

则有：2+c=1，解得：c=﹣1．

∵最高点为（ ，1），与其相邻的最低点为（ ，﹣3）．

∴ ，

解得：T=π，

∵T= ，

∴ω=2

故得：函数f（x）=2sin（2x+ ）﹣1；

对称中心：2x+ =kπ，（k∈Z）

解得：x= ．

故得：函数f（x）的对称中心坐标为（ ，﹣1）（k∈Z）

（2）解：由（1）可得函数f（A）=2sin（2A+ ）﹣1；

∵ =﹣ ac， ，

∴﹣accosB=﹣ ac，

可得：cosB= ，

故得：B= ．

∴A∈（0， ）

2A+ ∈（ ， ），

∴函数f（A）=2sin（2A+ ）﹣1的值域（﹣3，1]．

即函数f（A）的取值范围是（﹣3，1]

【解析】（1）将函数f（x）化简，图象上的一个最高点为（ ，1），可得C的值，与其相邻的最低点是（ ，﹣3）．可得周期．从而得到f（x）的解析式．根据三角函数的图象及性质可得对称中心；（2） =﹣ ac，利用夹角公式，可得cosB的值，即B的值，利用f（x）的解析式可求解．
【考点精析】掌握正弦函数的对称性是解答本题的根本，需要知道正弦函数的对称性：对称中心；对称轴．