Question

已知椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点(2，

3

)，且它的离心率e=

1

2

．直线l：y=kx+t与椭圆C₁交于M、N两点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）当k=

3

2

时，求证：M、N两点的横坐标的平方和为定值；
（Ⅲ）若直线l与圆C2：(x-1)2+y2=1相切，椭圆上一点P满足

OM

+

ON

=λ

OP

，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，把点(2，

3

)代入椭圆方程得一方程，由离心率为

1

2

得

c

a

=

1

2

，由a²=b²+c²得方程，联立解方程组即可；
（Ⅱ）把k=

3

2

时的直线方程代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，则x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2，代入韦达定理即可求得定值；
（Ⅲ）由直线与圆相切可得k，t的关系式①，把直线方程代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由韦达定理、向量运算可得P点坐标，代入椭圆方程可得一等式②，由①②消掉k，得λ关于t的函数式，借助t的范围即可求得λ的范围；

解答：解：（Ⅰ） 设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由已知得：

4 a2 + 3 b2 =1 c a = 1 2 c2=a2-b2

，解得 

a2=8 b2=6

，
所以椭圆的标准方程为：

x2

8

+

y2

6

=1；
（Ⅱ） 由

y= 3 2 x+t x2 8 + y2 6 =1

，得6x2+4

3

tx+4t2-24=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=

-4 3 t

6

，x1x2=

4t2-24

6

，
则x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(-

4 3 t

6

)2-2•

4t2-24

6

=8，为定值．
（Ⅲ）因为直线l：y=kx+t与圆（x-1）²+y²=1相切，
所以，

|t+k|

1+k2

=1⇒2k=

1-t2

t

(t≠0)，
把y=kx+t代入

x2

8

+

y2

6

=1并整理得：（3+4k²）x²+8ktx+4t²-24=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则有x1+x2=-

8kt

3+4k2

，y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=

6t

3+4k2

，
因为λ

OP

=(x1+x2，y1+y2)，所以P(

-8kt

(3+4k2)λ

，

6t

(3+4k2)λ

)，
又因为点P在椭圆上，
所以

8k2t2

(3+4k2)2λ2

+

6t2

(3+4k2)2λ2

=1⇒λ2=

2t2

3+4k2

=

2

( 1 t2 )2+ 1 t2 +1

．   
 因为t²＞0，所以 (

1

t2

)2+(

1

t2

)+1＞1，
所以0＜λ²＜2，所以λ的取值范围为 (-

2

，0)∪(0，

2

)．

点评：本题考查直线方程、椭圆方程及其位置关系，考查学生分析问题解决问题的能力，韦达定理、判别式、点到直线的距离公式等是解决该类题目的基础知识，要熟练掌握．