Question

过点（a，0）（a＞0）的直线与抛物线y²=4x交于A，B两点，在抛物线的准线x=-1上存在一点C，使得

CA

•

CB

最小时，a的值为（　　）

• A、1
• B、2
• C、4
• D、与直线的斜率有关

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意设直线方程为x=ky+a，代入抛物线y²=4x，设C（-1，t），利用韦达定理可可得

CA

•

CB

，利用配方法，即可得出结论．

解答： 解：由题意，设直线方程为x=ky+a，代入抛物线y²=4x，可得y²-4ky-4a=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4a，
设C（-1，t），则得

CA

•

CB

=（x₁+1，y₁-t）•（x₂+1，y₂-t）=（x₁+1）（x₂+1）+（y₁-t）（y₂-t）
=x₁x₂+（x₁+x₂）+1+y₁y₂-t（y₁+y₂）+t²
=

1

16

y₁²y₂²+

1

4

（y₁²+y₂²）+1+y₁y₂-t（y₁+y₂）+t²
=（a-1）²+（2k-t）²，
∴a=1，2k=t时，

CA

•

CB

最小为0，
故选：A．

点评：本题考查抛物线的简单性质，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于基础题．