Question

已知F₁、F₂分别是椭圆E的左、右焦点，点P（1，

3

2

）是椭圆上的一个点，且|PF₁|+|PF₂|=4．求：过F₁的直线L₁与过F₂的直线L₂平行，分别交于A、B、C、D四个点，求S?ABCD的最大值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：先根据题意求出椭圆E的标准方程，再利用平行四边形的面积S_{平行四边形ABCD}=4S_△OAB，设出直线AB的方程为x=my-1，由直线方程与椭圆方程组成方程组，利用弦长公式求出S_△OAB的最大值即可．

解答： 解：设椭圆E的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵|PF₁|+|PF₂|=4，∴2a=4，∴a=2，…（2分）
又∵点P（1，

3

2

）在椭圆上，
∴

1

4

+

9

4b2

=1，∴b=

3

，
椭圆E的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1；如图所示…（5分）
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴S_{平行四边形ABCD}=4S_△OAB，
设直线AB的方程为x=my-1，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x=my-1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3m²+4）y²-6my-9=0，
∴y₁+y₂=

6m

3m2+4

，y₁y₂=-

9

3m2+4

，…（6分）
S_△OAB=S△OF1A+SOF1B=

1

2

|OF₁||y₁-y₂|=

1

2

|y₁-y₂|
=

1

2

(y1+y2)2-4y1y2

=6

m2+1 (3m2+4)2

，…（9分）
令m²+1=t，则t≥1，S_△OAB=6

t (3t+1)2

=6

1 9t+6+ 1 t

，…（11分）
又∵g（t）=9t+

1

t

在[1，+∞）上单调递增，
∴g（t）≥g（1）=10，∴S_△OAB的最大值为

3

2

；
∴S_{平行四边形ABCD}的最大值为6．…（13分）

点评：本题考查了椭圆的定义域标准方程的应用问题，也考查了三角形面积的求法问题，解题时应灵活应用弦长公式，是中档题．