Question

在区间[-2，2]内随机取两个数a，b，则使得函数f（x）=

1

3

x³+ax²+（4-b²）x-2（x∈R）既有极大值，又有极小值的概率为

 

．

Answer 1

考点：几何概型

专题：应用题,概率与统计

分析：先对函数进行求导，根据函数f（x）=

1

3

x³+ax²+（4-b²）x-2（x∈R）既有极大值又有极小值，可以得到△＞0，进而得到a²+b²＞4，其面积为4π，区间[-2，2]内随机取两个数a，b，其面积为16，即可求得结论．

解答： 解：∵f（x）=

1

3

x³+ax²+（4-b²）x-2，
∴f′（x）=x²+2ax+（4-b²）
∵函数f（x）=

1

3

x³+ax²+（4-b²）x-2（x∈R）既有极大值又有极小值
∴△=（2a）²-4×（4-b²）＞0
∴a²+b²＞4，其面积为4π，
区间[-2，2]内随机取两个数a，b，其面积为16，
∴所求概率为1-

4π

16

=1-

π

4

．
故答案为：1-

π

4

．

点评：本题给出a、b满足的关系式，求使得函数f（x）=

1

3

x³+ax²+（4-b²）x-2（x∈R）既有极大值，又有极小值的概率，着重考查了面积计算公式、函数在某点取得极值的条件、一元二次方程根的判别式和几何概型计算公式等知识，属于基础题．