Question

设二次函数f（x）在区间[-1，4]上的最大值为5，且关于x的不等式f（x）＜0的解集为区间（0，4）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对于任意的x∈R，不等式f（2-2cosx）＜f（1-cosx-m）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设出函数的解析式，得到方程解出即可，（2）转化为：|2-2cosx-2|＜|1-cosx-m-2|即|2cosx|＜|cosx+m+1|，即可得出m+1＞1且-

m+1

3

＜-1，求解即可．

解答： 解：（1）由题意设二次函数的解析式为f（x）=ax（x-4），且a＞0，
再根据在区间[-1，4]上的最大值为f（-1）=5a=5，求得 a=1，
可得f（x）=x（x-4）=x²-4x．
（2）因为f（x）的对称轴为x=2且其图象开口向上
所以f（2-2cosx）＜f（1-cosx-m） 等价于
|2-2cosx-2|＜|1-cosx-m-2|即|2cosx|＜|cosx+m+1|，
-

m+1

3

＜cosx＜m+1，
∴只需：m+1＞1且-

m+1

3

＜-1，求解得出：m＞0，m＞2
即m＞2

点评：本题考查了求函数的解析式问题，求参数的范围，考查转化思想，是一道中档题．