Question

已知二函数f（x）=ax2+bx+5（x∈R）满足以下要求：
①函数f（x）的值域为[1，+∞）；②f（-2+x）=f（-2-x）对x∈R恒成立．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设M（x）=

f(lnx)

lnx+1

，求x∈[e，e²]时M（x）的值域．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）配方，利用对称轴和值域求参数，
（2）将M（x）化简，然后通过换元法利用基本不等式求值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax2+bx+5=a（x+

b

2a

）²+5-

b2

4a

，
又∴f（-2+x）=f（-2-x），
∴对称轴为x=-2=-

b

2a

，
∵值域为[-2，+∞），
∴a＞0且5-

b2

4a

=1，
∴a=1，b=4，则函数f（x）=x²+4x+5，
（2）∵M（x）=

f(lnx)

lnx+1

=

(lnx)2+4lnx+5

lnx+1

，
∵x∈[e，e²]，∴令t=lnx+1，则t∈[2，3]，
∴

(lnx)2+4lnx+5

lnx+1

=

(t-1)2+4(t-1)+5

t

=

t2+2t+2

t

=t+

2

t

+2，
∵t∈[2，3]，∴t+

2

t

+2∈[5，

17

3

]，
∴所求值域为：[5，

17

3

]．

点评：本题考查二次函数的性质和换元法求函数的值域，难点是换元法的使用，注意换元要注明范围．