Question

已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=

5 2 x2(0≤x≤1) ( 1 2 )x+2(x＞1)

，若关于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（-5，-3）∪（-1，0）
• B、(-5，-2)∪(-

  9

  2

  ，

  9

  2

  )
• C、(-5，-

  9

  2

  )∪(-

  9

  2

  ，-2)
• D、（-

  9

  2

  ，-2)∪(-2，-1)

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：作出f（x）=

5 2 x2(0≤x≤1) ( 1 2 )x+2(x＞1)

的图象，从而由题意可得x²+ax+b=0的两根分别x₁=

5

2

，2＜x₂＜

5

2

或0＜x₁≤2，2＜x₂＜

5

2

；从而求解．

解答： 解：作出f（x）=

5 2 x2(0≤x≤1) ( 1 2 )x+2(x＞1)

的图象如下，

又∵函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，
且关于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，
∴x²+ax+b=0的两根分别为x₁=

5

2

，2＜x₂＜

5

2

或0＜x₁≤2，2＜x₂＜

5

2

；
由韦达定理可得，x₁+x₂=-a；
若x₁=

5

2

，2＜x₂＜

5

2

，
则

9

2

＜-a＜5，
即-5＜a＜-

9

2

；
若0＜x₁≤2，2＜x₂＜

5

2

；
则2＜-a＜

9

2

，
故-

9

2

＜a＜-2；
故选C．

点评：本题考查了函数的零点与方程的根的联系，属于中档题．