Question

已知椭圆C的中心为原点，以坐标轴为对称轴，且经过（-

1

2

，

3

），（

2

2

，

2

）两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点A（0，1）的直线l交椭圆C于M、N两点，若OM⊥ON，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设出椭圆的标准方程，将（-

1

2

，

3

），（

2

2

，

2

）代入构造方程组，从而求得椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）设过点A（0，1）的直线l与椭圆C交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），把直线代入椭圆的方程，再利用韦达定理求得 x₁+x₂ 和x₁•x₂．根据OM⊥ON，即

OM

•

ON

=0，求得k的值．根可得直线l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）设椭圆的方程为mx²+ny²=1，（m＞0，n＞0，m≠n），
∵椭圆C经过（-

1

2

，

3

），（

2

2

，

2

）两点，
∴

1 4 m+3n=1 1 2 m+2n=1

，
解得：

m=1 n= 1 4

∴椭圆C的标准方程为

y2

4

+x2=1．
（Ⅱ）由题意知，直线l的斜率存在，
设直线l与椭圆C交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点，
由

y2 4 +x2=1 y=kx+1

，可得 （k²+4）x²+2kx-3=0，
∴x₁+x₂=-

2k

k2+4

，x₁•x₂=-

3

k2+4

．
∵OM⊥ON，
∴

OM

•

ON

=0，
即 x₁•x₂+y₁•y₂=0，即（1+k²）x₁•x₂+k（x₁+x₂）+1=0，
即 （1+k²）（

-3

k2+4

）+k（

-2k

k2+4

）+1=0，化间得-4k²+1=0，解得k=±

1

2

．
故直线l的方程为：y=±

1

2

x+1，即x-2y+2=0，或x+2y-2=0．

点评：本题主要考查椭圆的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，属于中档题．