Question

设函数f（x）=ln（x-1）+

2a

x

(其中x＞1，a≥0)．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）已知对任意的x∈（1，2）∪（2，+∞），不等式

1

x-2

[f(x)-a]＞0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：计算题,分类讨论,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（1）求出函数的导数，对a讨论，①当0≤a≤2，②当a＞2时，求出导数为0的根，解不等式，即可得到单调区间；
（2）当x＞1且x≠2时，不等式

1

x-2

[f(x)-a]＞0成立等价为1＜x＜2时，f（x）＜a且x＞2时，f（x）＞a恒成立．分别讨论当0≤a≤2时，当a＞2时，函数的单调性和最值情况，即可得到a的范围．

解答： 解：（1）f（x）的导数f′（x）=

1

x-1

-

2a

x2

=

x2-2ax+2a

x2(x-1)

令g（x）=x²-2ax+2a（a≥0，x＞1），则△=4a²-8a=4a（a-2），对称轴x=a，
①当0≤a≤2，g（x）≥0，即f′（x）≥0，f（x）在（1，+∞）上递增；
②当a＞2时，g（x）=0的两根x₁=a-

a2-2a

，x₂=a+

a2-2a

，
由g（1）=1-2a+2a=1＞0，a＞2，则1＜x₁＜x₂，
当x∈（x₁，x₂），g（x）＜0，f（x）递减，
当x∈（1，x₁）∪（x₂，+∞），g（x）＞0，f（x）递增；
则有f（x）的增区间为（1，a-

a2-2a

），（a+

a2-2a

，+∞），
减区间为（a-

a2-2a

，a+

a2-2a

）；
（2）当x＞1且x≠2时，不等式

1

x-2

[f(x)-a]＞0成立
等价为1＜x＜2时，f（x）＜a且x＞2时，f（x）＞a恒成立．
由（1）知，当0≤a≤2时，f（x）在（1，+∞）上递增，
f（2）≥a且f（2）≤a，即有f（2）=a，
即有ln1+

2a

2

=a，成立，则0≤a≤2恒成立；
当a＞2时，g（2）=4-4a+2a=4-2a＜0，即1＜x₁＜2＜x₂，
x₁＜x＜2时，f（x）递减，f（x）＞f（2）=a；
则存在1＜x＜2，f（x）＞a即1＜x＜2时，f（x）＜a不恒成立，不满足题意．
综上，a的取值范围是[0，2]．

点评：本题考查函数的导数的运用：求单调区间，考查不等式的恒成立问题，注意转化为求函数的最值问题，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．