Question

给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f′（x）存在，且导函数f′（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导数，记f′′（x）=（f′（x））′，若f′′（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数．以下四个函数（1）f（x）=sinx+cosx；（2）f（x）=lnx-2x；（3）f（x）=-x³+2x-1；（4）f（x）=-xe^-x在（0，

π

2

）上不是凸函数的是

 

．

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的概念及应用

分析：依次求出f′（x），f″（x），判定出f″（x）在（0，

π

2

）上是否满足f′′（x）＜0在D上恒成立，利用题中对凸函数的定义得出答案．

解答： 解：对于①，f′（x）=cosx-sinx，f″（x）=-sinx-cosx，当x∈（0，

π

2

）时，f″（x）＜0恒成立；符合定义；
对于②，f′（x）=

1

x

-2，f″(x)=-

1

x2

，当x∈（0，

π

2

）时，f″（x）＜0恒成立；符合定义；
对于③，f′（x）=-3x²+2，f″（x）=-6x，当x∈（0，

π

2

）时，f″（x）＜0恒成立；符合定义；
对于④，f′（x）=（x-1）e^-x，f″（x）=（2-x）e^-x，当x∈（0，

π

2

）时，f″（x）＞0恒成立；不符合定义；
故答案为：④

点评：本题是一道新定义题，是高考中常见题型，关键是理解题中所给的定义，考查导数的运算．