Question

已知函数f（x）=

2x-1

2x+1

（x∈R）
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若对任意的x∈R，都有不等式f（2x）+f（x²-m）＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数奇偶性的性质

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）利用奇函数的定义，即可判断函数f（x）的奇偶性；
（2）f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

在R上递增，且为奇函数，可得x²+2x-m＞0，对任意的x∈R恒成立，运用判别式小于0，即可得到m的范围．

解答： 解：（1）∵f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=-

2x-1

2x+1

=-f（x），
∴f（x）为奇函数；
（2）∵f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

在R上递增，且为奇函数
∴f（x²-m）＞f（-2x），
∴x²-m＞-2x
即x²+2x-m＞0，对任意的x∈R恒成立，
则判别式△=4+4m＜0，解得m＜-1．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性及运用，考查二次不等式恒成立问题，注意运用判别式小于0，属于中档题．