Question

对一切实数x，当a＜b时，二次函数f（x）=ax²+bx+c的值恒为非负数，则b-2a-

c

2

的最大值为（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、-1

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：先配方，然后利用基本不等式和放缩法求b-2a-

c

2

的最大值．

解答： 解：f（x）=ax²+bx+c=a（x+

b

2a

）²+

4ac-b2

4a

，
∵二次函数f（x）=ax²+bx+c的值恒为非负数，
∴a＞0且△=b²-4ac≤0，
∵a＜b，∴b＞0，c＞0，
∴2b≤b²+1，（当且仅当b=1时，等号成立）
4a+c≥4

ac

（当且仅当4a=c时，等号成立）
∴b-2a-

c

2

=

1

2

（2b-4a-c）=

1

2

[2b-（4a+c）]≤b²+1-4

ac

又∵b²≤4ac
∴b²+1-4

ac

≤4ac+1-4

ac

令t=

ac

则4ac+1-4

ac

=4t²-4t+1=（2t-1）²
由等号成立的条件b=1，c=4a，b²=4ac得4ac=1，ac=

1

4

，
∴t=

ac

=

1

2

b-2a-

c

2

最大时有（2t-1）²=0
∴2b-4a-c的最大值的最大值是0，（当且仅当b²=4ac=1，且c=4a时，等号成立）．
故选：A．

点评：本题考查二次函数的性质，基本不等式和放缩法求最值，属于综合题，有一定难度．