Question

已知f（x）=-

1

3

x³+

1

2

ax²+2x在区间[-1，1]上是增函数．
（1）求实数a的范围A；
（2）设关于x的方程f（x）=

5

3

x有两个非零实根x₁、x₂，试问：是否存在实数m，使得不等式m²+tm+

1

2

≥|x₁-x₂|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（1）求出函数的导数，由题意可得，f′（x）≥0在[-1，1]恒成立，即x²-ax-2≤0在[-1，1]恒成立，则1-a-2≤0且1+a-2≤0，解得即可；
（2）假设存在实数m，运用韦达定理，求得|x₁-x₂|在[-1，1]上的最大值，再由m²+tm+

1

2

不小于最大值，在-1≤t≤1恒成立，构造一次函数，运用单调性得到不等式，即可得到m的范围．

解答： 解：（1）f（x）=-

1

3

x³+

1

2

ax²+2x的导数f′（x）=-x²+ax+2，
由f（x）在区间[-1，1]上是增函数，则f′（x）≥0在[-1，1]恒成立，
即x²-ax-2≤0在[-1，1]恒成立，则1-a-2≤0且1+a-2≤0，
解得，-1≤a≤1，
则A=[-1，1]；
（2）假设存在实数m，使得不等式m²+tm+

1

2

≥|x₁-x₂|
对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立．
关于x的方程f（x）=

5

3

x有两个非零实根x₁、x₂，
即有两个非零实根x₁、x₂是方程2x²-3ax-2=0的根，
即有△=9a²+16＞0，x₁+x₂=

3a

2

，x₁x₂=-1，
|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

9a2 4 +4

，
由于a∈[-1，1]，则|x₁-x₂|取得最大值

5

2

．
即有m²+tm+

1

2

≥

5

2

对任意的t∈[-1，1]恒成立，
构造g（t）=m²+tm-2，则有g（-1）≥0，且g（1）≥0，
即有m²-m-2≥0且m²+m-2≥0，
即m≥2或m≤-1且-2≤m≤1，
解得，-2≤m≤-1．
则存在实数m∈[-2，-1]，使得不等式m²+tm+

1

2

≥|x₁-x₂|
对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立．

点评：本题考查导数的运用：求单调区间，考查二次方程的韦达定理，考查不等式的恒成立问题，注意转化为求函数最值问题，属于中档题和易错题．