Question

已知函数f（x）=cos（

π

6

x+

π

2

）
（1）用“五点法”作图作出y=f（x）的一个周期的图象；（列表作图）
（2）求函数f（x）的最大值，并写出取得最大值时自变量x的取值集合；
（3）函数y=f（x）可以由函数y=cosx如何变化得到？写出变化过程．

Answer 1

考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据题意，列出表格，并画出函数f（x）在一个周期[-3，9]上的图象；
（2）求出函数f（x）的最大值以及对应的自变量x的取值集合；
（3）方法一，先把横坐标变为原来的

6

π

倍，再向左平移3个单位；
方法二，先向左平移

π

2

个单位，再把横坐标变化成原来的

6

π

倍．

解答： 解：（1）根据题意，列表如下：

π 6 x+ π 2	0	π 2	π	3π 2	2π
x	-3	0	3	6	9
f（x）=cos（ π 6 x+ π 2 ）	1	0	-1	0	1

画出函数f（x）=cos（

π

6

x+

π

2

）在周期[-3，9]上的图象，如图所示

（2）函数f（x）=cos（

π

6

x+

π

2

）的最大值是f（x）_max=1，
令

π

6

x+

π

2

=2kπ，k∈Z，
解得x=-3+12k，k∈Z，
即函数取得最大值时自变量x的取值集合是{x|x=-3+12k，k∈Z}；
（3）方法一，由函数y=cosx图象的横坐标变换成原来的

6

π

倍，再向左平移3个单位，即得函数y=f（x）的图象；
方法二，由函数y=cosx向左平移

π

2

个单位，再把横坐标变化成原来的

6

π

倍，即得函数y=f（x）的图象．

点评：本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，解题时应对函数解析式进行分析，利用整体思想求解，是基础题目．