Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n+n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的前三项a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）求证：数列{a_n-1}为等比数列，并求出{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：等比数列的通项公式,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）依次令n=1，2，3，利用递推思想能求出数列{a_n}的前三项a₁，a₂，a₃．
（Ⅱ）由S_n=2a_n+n，可知当n≥2时，S_n-1=2a_n-1+n-1，两式相减整理即可证明数列{a_n-1}为等比数列，并能求出{a_n}的通项公式．

解答： （Ⅰ）解：∵S_n=2a_n+n（n∈N^*）．
∴a₁=S₁=2a₁+1，
解得a₁=-1，
S₂=-1+a₂=2a₂+2，
解得a₂=-3，
S₃=-4+a₃=2a₃+3，
解得a₃=-7．
（Ⅱ）证明：∵S_n=2a_n+n．
∴当n≥2时，S_n-1=2a_n-1+n-1．
两式相减可得，S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1+1
即a_n=2a_n-2a_n-1+1
∴a_n-1=2（a_n-1-1）
∵n=1时，S₁=2a₁+1
∴a₁=-1，a₁-1=-2
∴数列{a_n-1}是以-2为首项，以2为公比的等比数列，
∴an-1=-2n，
∴a_n=1-2ⁿ．

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解数列的通项公式，是中档题．