Question

表面积为4

3

的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（　　）

• A、

  6

  3

  π
• B、

  2 6

  3

  π
• C、

  6

  π
• D、

  6

  27

  π

Answer 1

考点：球的体积和表面积,球内接多面体

专题：空间位置关系与距离

分析：将正四面体补成正方体，再将正方体放在一个球体中，利用它们之间的关系求解．

解答： 解：如图，将正四面体补形成一个正方体，
∵表面积为4

3

的正四面体，
正四面体棱长为A，

3

4

a2=

3

，解得a=2，
∴正方体的棱长是

2

，
又∵球的直径是正方体的对角线，设球半径是R，
∴2R=

6

，
∴R=

6

2

，
∴球的体积为

4

3

π(

6

2

)3=

6

π．
故选：C．

点评：巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化．若已知正四面体V-ABC的棱长为a，求外接球的半径，可以构造出一个球的内接正方体，再应用对角线长等于球的直径可求得．