Question

已知椭圆C₁的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点P(

2

，0)、Q(-1，-

2

2

)．
（1）求椭圆C₁的标准方程；
（2）如图，以椭圆C₁的长轴为直径作圆C₂，过直线x=-2上的动点T作圆C₂的两条切线，设切点分别为A、B，若直线AB与椭圆C₁求交于不同的两点C、D，求

|AB|

|CD|

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

2 a2 =1 1 a2 + 1 2b2 =1

，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）圆C₂的方程为x²+y²=2，设直线x=-2上的动点T的坐标为（-2，t），（t∈R），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则直线AT的方程为x₁x+y₁y=2，直线BT的方程为x₂x+y₂y=2，直线AB的方程为-2x+ty=2，由此利用点到直线的距离和导数的性质能求出

|AB|

|CD|

的取值范围．

解答： 解：（1）设椭圆C₁的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
将点P（

2

，0），Q（-1，-

2

2

）代入，得：

2 a2 =1 1 a2 + 1 2b2 =1

，解得a=

2

，b=1，
∴椭圆的标准方程为

x2

2

+y2=1．
（2）圆C₂的方程为x²+y²=2，
设直线x=-2上的动点T的坐标为（-2，t），（t∈R），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则直线AT的方程为x₁x+y₁y=2，
直线BT的方程为x₂x+y₂y=2，
又T（-2，t）在直线AT和BT上，即

-2x1+ty1=2 -2x2+ty2=2

，
∴直线AB的方程为-2x+ty=2，
由原点O到直线AT的距离为d=

2

4+t2

，
得|AB|=2

r2-d2

=2

2t2+4 t2+4

，
联立

-2x+ty=2 x2 2 +y2=1

，消去x，得（t²+8）y²-4ty-4=0，
设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
则y3+y4=

4t

t2+8

，y3y4=

-4

t2+8

，
从而|CD|=

1+ t2 4

|y1-y2|=

2 t2+4 • 2t2 +8

t2+8

，
∴

|AB|

|CD|

=

(t2+8) t2+2

(t2+4) t2+4

，
设t²+4=m，m＞4，
则

|AB|

|CD|

=

m3+6m2-32 m3

=

1+ 6 m - 32 m3

，
又设

1

m

=s.0＜s≤

1

4

，
则

|AB|

|CD|

=

1+6s-32s2

，
设f（s）=1+6s-32s³，
令f′（s）=6-96s²=0，解得s=

1

4

，
故f（s）=1+6s-32s³在s∈（0，

1

4

]上单调递增，
f（s）∈（1，2]，
∴

|AB|

|CD|

∈（1，

2

]．

点评：本题考查椭圆的方程的求法，考查两线段比值的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．