Question

如图已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，且过点A（0，1）．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M，N两点．求证：直线恒过定点P．并求点P的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，且过点A（0，1），求出a，b，即可求椭圆的方程；
（2）设直线l₁的方程为y=kx+1，联立椭圆方程，求出M，N的坐标，可得kMP=

yM+ 3 5

xM

=

k2-1

5k

，kNP=

yN+ 3 5

xN

=

k2-1

5k

，k_MP=k_NP．即可证明结论．

解答： 解：（1）因为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，且过点A（0，1）．
所以b=1，

c

a

=

3

2

，
所以a=2，b=1
所以椭圆C的方程为：

x2

4

+y2=1…（3分）
（2）直线MN恒过定点P（0，-

3

5

)，下面给予证明：
设直线l₁的方程为y=kx+1，联立椭圆方程，消去y得；（4k²+1）x²+8kx=0，
解得xM=-

8k

4k2+1

，yM=

1-4k2

4k2+1

同理可得：xN=

8k

k2+4

，yN=

k2-4

k2+4

…（8分）
kMP=

yM+ 3 5

xM

=

k2-1

5k

，kNP=

yN+ 3 5

xN

=

k2-1

5k

∴k_MP=k_NP．
故直线MN恒过定点P （0，-

3

5

）．…（12分）

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．