Question

已知函数f（x）=x²+（a+2）x+b，满足f（-1）=-2；
（1）若方程f（x）=2x有唯一的解，求实数a，b的值；
（2）若函数f（x）在区间[-3，2]上不是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（-1）=-2可得a=b+1  ①，而由f（x）=2x有唯一解得，△=a²-4b=0    ②，所以联立①②即可得到a，b；
（2）根据f（x）在区间[-3，2]上不是单调函数，便得抛物线顶点在[-3，2]之间，也就是-3＜-

a+2

2

＜2，所以解该不等式即得a的取值范围．

解答： 解：（1）由f（-1）=-2得，1-a-2+b=-2，即a=b+1   ①；
由f（x）=2x得，x²+ax+b=0，该方程有唯一解；
∴△=a²-4b=0    ②；
∴由①②解得：a=2，b=1；
（2）f（x）为二次函数，对称轴为x=-

a+2

2

；
∵f（x）在区间[-3，2]上不是单调函数；
∴-3＜-

a+2

2

＜2，解得：-6＜a＜4；
∴实数a的取值范围为（-6，4）．

点评：考查一元二次方程解的情况和判别式△的关系，二次函数的对称轴，以及二次函数的单调性．