Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=4，BC=2，AB=2AA₁=2

3

，F是BC上任一点，E为AC₁上的一点，且EC₁=2A₁E．
（1）求证平面AEB⊥平面B₁FC₁
（2）当点F位于BC何处时，C₁F∥平面AEB？并求出此时三棱锥C₁-B₁EF的体积．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）首先，证明AB⊥平面BB₁C₁C，然后，得到结论；
（2）可以取B₁C₁的中点H，连结EH，从而得EH⊥平面BB₁C₁C，最后，结合体积公式求解．

解答： （1）证明：在△ABC中，∵AC=4，BC=2，AB=2AA₁=2

3

，
∴AB²+BC²=AC²，
∴AB⊥BC．…（3分）
由已知AB⊥BB₁，BB₁∩BC=B，
∴AB⊥平面BB₁C₁C．…（5分）
又∵AB?平面ABE，
故平面ABE⊥平面BB₁C₁C，
即平面AEB⊥平面B₁FC₁．…（7分）
（2）解：如图
在B₁C₁上取点H，使HC₁=2B₁H，连结EH，
则EH∥AB且EH=

2

3

AB=

4 3

3

，
要使C₁F∥平面AEB，只要C₁F∥HB，
所以只要BF=2FC即可；
由（1）AB⊥平面BB₁C₁C，
∴EH⊥平面BB₁C₁C，且EH=

2

3

AB=

4 3

3

，
∴VC1-B1EF=V_E-B1C1F=

1

3

S_△B1C1F•EH=

1

3

×

1

2

×2×2

3

×

4 3

3

=

8

3

．…（14分）

点评：本题重点考查了空间中平面和平垂直的判定定理、空间几何体的体积计算等知识，属于中档题．