Question

【题目】已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）=|t（x+ ）﹣5|，其中常数t＞0．
（1）若函数f（x）分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调，试求实数t的取值范围；
（2）当t=1时，方程f（x）=m有四个不相等的实根x1 ， x2 ， x3 ， x4 ． ①求四根之积x1x2x3x4的值；
②在[1，4]上是否存在实数a，b（a＜b），使得f（x）在[a，b]上单调且取值范围为[ma，mb]？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设h（x）=t（x+ ）

∵t＞0，

∴函数h（x）在区间（0，2），（2，+∞）上单调，且h（x）≥4t，

要使函数f（x）分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调，

只需4t﹣5≥0，

∴t≥

（2）解：①当t=1 时，由f（x）=m得|（x+ ）﹣5|=m，

∴（x+ ）﹣5=m，或（x+ ）﹣5=﹣m，

即x2﹣（m+5）x+4=0，或x2+（m+5）x+4=0

∵x1，x2，x3，x4是方程f（x）=m的四个不相等的实根，

∴x1x2x3x4=4×4=16

②f（x）在区间（0，1），（1，2），（2，4），（4，+∞）上均为单调函数

（i）当[a，b]（1，2]时，f（x）在[a，b]上单调递增，则

即m= 在a∈（1，2]时，有两个不等实根

而令 ，则 =φ（t）=﹣4（t﹣ ）2+ ，

则φ（t）=﹣4（t﹣ ）2+ =m在[ ，1）上有两个根，

由当t= 时，函数φ（t）取最大值 ，

当t= 时，φ（ ）= ，当t=1时，φ（1）=0，

故

（ii）当[a，b]（2，4]时，f（x）在[a，b]上单调递减，则 两式相除得（a﹣b）（a+b﹣5）=0

∴a+b=5，

∴b=5﹣a＞a，

∴2＜a＜ ，

由﹣a﹣ +5=mb得：m= =1+ ∈（ ， ），

综上，m的取值范围为（ ， ）

【解析】（1）设h（x）=t（x+ ）结合对勾函数的图像和性质，可得函数h（x）在区间（0，2），（2，+∞）上单调，且h（x）≥4t，要使函数f（x）分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调，只需4t﹣5≥0，解得：实数t的取值范围；（2）当t=1时，由f（x）=m得|（x+ ）﹣5|=m，即（x+ ）﹣5=m，或（x+ ）﹣5=﹣m，即x2﹣（m+5）x+4=0，或x2+（m+5）x+4=0， ①由韦达定理，可得四根之积x1x2x3x4的值；
②f（x）在区间（0，1），（1，2），（2，4），（4，+∞） 上均为单调函数，（1）当[a，b]（1，2]时，f（x）在[a，b]上单调递增，则 ；（2）当[a，b]（2，4]时，f（x）在[a，b]上单调递减，则 ；综合讨论结果，可得m的取值范围．
【考点精析】利用函数单调性的判断方法和函数单调性的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集．