Question

【题目】已知函数， ．

（）若在为增函数，试求实数的取值范围．

（）当，若存在，使成立，试确定实数的取值范围．

（）设函数，求证：

（i）．

（ii）， ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）（i）证明见解析，（ii）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）在为增函数，等价于在上恒成立，只需的最大值即可得到实数的取值范围；（2）存在，使得，等价于存在， 成立，设，则，利用导数研究函数的单调性，根据单调性求最值即可得结果；（3）（i），利用基本不等式及放缩法可得结论；由（i）可得： ， ， ，各式相乘即可得结论.

试题解析：（ ）由，得，

∵在为增函数，

∴在上恒成立，

即恒成立，

∵当时， ，

∴，

即实数的取值范围是．

（）由题意，存在，使得，

等价于存在， 成立，

设，则，

，

令得，令，得，

∴在上是减函数，在上是增函数，

∴在上的最小值是，

∴，即实数的取值范围是．

（）证明：由题意，

（i）

∴．

（ii）由（i）可得： ， ， ，

以上式子相乘可得故， ．