Question

4．与双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=-1共焦点，且过点（1，2）的圆锥曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{8}$+$\frac{{x}^{2}}{2}$=1或$\frac{{y}^{2}}{3}$-$\frac{{x}^{2}}{3}$=1．

Answer 1

分析 根据题意，将双曲线的方程变形可得$\frac{{y}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1，分析可得其焦点坐标为（0，±$\sqrt{6}$）；进而分要求的圆锥曲线为椭圆和双曲线两种情况进行讨论，分别求出圆锥曲线的方程，综合可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=-1，变形可得$\frac{{y}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1，
其焦点在y轴上，c=$\sqrt{4+2}$=$\sqrt{6}$，
则其焦点坐标为（0，±$\sqrt{6}$）；
若要求的圆锥曲线为椭圆，设其方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
则有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}-{b}^{2}=6}\end{array}\right.$，
解可得a²=8，b²=2，
则要求椭圆的方程为：$\frac{{y}^{2}}{8}$+$\frac{{x}^{2}}{2}$=1；
若要求的圆锥曲线为双曲线，设其方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
则有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}-\frac{1}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}+{b}^{2}=6}\end{array}\right.$，
解可得a²=3，b²=3，
则要求双曲线的方程为：$\frac{{y}^{2}}{3}$-$\frac{{x}^{2}}{3}$=1；
综合可得：要求圆锥曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{8}$+$\frac{{x}^{2}}{2}$=1或$\frac{{y}^{2}}{3}$-$\frac{{x}^{2}}{3}$=1；
故答案为：$\frac{{y}^{2}}{8}$+$\frac{{x}^{2}}{2}$=1或$\frac{{y}^{2}}{3}$-$\frac{{x}^{2}}{3}$=1．

点评 本题考查双曲线的几何性质，注意需要分椭圆和双曲线两种情况进行讨论．