Question

16．如图，在△ABC中，$\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{FC}$，$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{FN}$．
（1）用$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$表示$\overrightarrow{AF}$；
（2）若$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AC}$，$|{\overrightarrow{AB}}|=\sqrt{2}|{\overrightarrow{AC}}|$，求证：$\overrightarrow{AN}⊥\overrightarrow{BC}$；
（3）若$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{BC}=|{\overrightarrow{MF}}|=1$，求$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BN}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据向量的加减的几何意义即可求出，
（2）根据向量的模和向量的垂直的条件即可判断，
（3）根据向量的加减的几何意义和向量的数量积的运算即可求出

解答 解：（1）因为$\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{FC}$，所以$\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AB}=2（{\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AF}}）$，
所以$\overrightarrow{AF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$，
证明：（2）因为$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AC}$，所以$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$，即$（{\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FB}}）•（{\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FC}}）=0$，
即${\overrightarrow{AF}^2}-\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{FC}-2{\overrightarrow{FC}^2}=0$，又因为$|{\overrightarrow{AB}}|=\sqrt{2}|{\overrightarrow{AC}}|$，
所以${（{\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FB}}）^2}=2{（{\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FC}}）^2}$，即${\overrightarrow{AF}^2}-2{\overrightarrow{FC}^2}-8\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{FC}=0$．
所以$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{FC}=0$，所以$\overrightarrow{AN}⊥\overrightarrow{BC}$，
（3）因为$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{FN}$，所以$2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MN}$，
即$2（{\overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BA}}）=\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{BM}$，因此$\overrightarrow{BM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BN}$，
同理$\overrightarrow{BF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BN}$，又$\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{FC}$，所以$\overrightarrow{BC}=\frac{3}{2}（{\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BN}}）=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BN}$，
因为$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{BC}=1$，所以$（{\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BN}}）•（{\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BN}}）=1$，
即$2（{{{\overrightarrow{BA}}^2}+{{\overrightarrow{BN}}^2}}）+5\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BN}=6$①
又因为$|{\overrightarrow{MF}}|=1$，$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{FN}$，所以$|{\overrightarrow{AN}}|=3$，所以${（{\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{BA}}）^2}=9$，
即${\overrightarrow{BN}^2}+{\overrightarrow{BA}^2}-2\overrightarrow{BN}•\overrightarrow{BA}=9$②
由①②得$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BN}=-\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了向量的加减的几何意义和向量的垂直和向量的模以及向量的数量积，属于中档题．