Question

6．设函数f（x）=（mx+n）lnx．若曲线y=f（x）在点P（e，f（e））处的切线方程为y=2x-e（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a，b∈R⁺，试比较$\frac{f（a）+f（b）}{2}$与$f（\frac{a+b}{2}）$的大小，并予以证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数f（x）的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求出f′（x），令F（x）=f（a）+f（x）-2f（$\frac{a+x}{2}$），求出F′（x），利用函数的单调性求出当x=a时，F（x）的最小值0，再根据b＞a，即可确定F（b）＞F（a），从而证得f（a）+f（b）-2f（$\frac{a+b}{2}$）＞0，得到$\frac{f（a）+f（b）}{2}$与$f（\frac{a+b}{2}）$的大小即可．

解答 解：f′（x）=mlnx+m+$\frac{n}{x}$，（x＞0），
故f（e）=me+n，f′（e）=2m+$\frac{n}{e}$，
故切线方程是：y=（2m+$\frac{n}{e}$）x-me=2x-e，
故m=1，n=0，
故f（x）=xlnx；
（Ⅰ）∵f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=1+lnx，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，
故f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）递减，在（$\frac{1}{e}$，+∞）；
（Ⅱ）不妨设0＜a≤b，∵f（x）=xlnx，
∴f'（x）=lnx+1，
令F（x）=f（a）+f（x）-2f（$\frac{a+x}{2}$），
∴F′（x）=f′（x）-f′（$\frac{a+x}{2}$）=lnx-ln$\frac{a+x}{2}$，
当0＜x＜a时，F'（x）＜0，当a＜x时，F'（x）＞0，
∴F（x）在（0，a）上为减函数，F（x）在（a，+∞）上为增函数，
∴当x=a时，F（x）_min=F（a）=0，
∵b≥a，
∴F（b）＞F（a），
∴f（a）+f（b）-2f（$\frac{a+b}{2}$）＞0，
∴$\frac{f（a）+f（b）}{2}$＞$f（\frac{a+b}{2}）$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．利用导数研究函数问题时，经常会运用分类讨论的数学思想方法．