Question

18．已知函数f（x）=x²-2x，设$g（x）=\frac{1}{x}•f（{x+1}）$．
（1）求函数g（x）的表达式，并求函数g（x）的定义域；
（2）判断函数g（x）的奇偶性，并证明．

Answer 1

分析 （1）求出f（x+1）=x²-1，即可求函数g（x）的表达式，并求函数g（x）的定义域；
（2）由（1）知，g（x）的定义域为{x|x≠0}关于原点对称，再利用奇函数的定义，判断、证明函数g（x）的奇偶性．

解答 解：（1）由f（x）=x²-2x，得f（x+1）=x²-1，
所以，$g（x）=\frac{1}{x}•f（{x+1}）=\frac{{{x^2}-1}}{x}$，定义域为{x|x∈R，且x≠0}；
（2）结论：函数g（x）为奇函数．
证明：由（1）知，g（x）的定义域为{x|x≠0}关于原点对称，
并且，$g（{-x}）=\frac{{{{（{-x}）}^2}-1}}{-x}=-g（x）$，
所以，函数g（x）为奇函数．

点评 本题考查函数解析式的求解，考查函数奇偶性，属于中档题．