Question

17．如图，某地区有四个公司分别位于矩形ABCD的四个顶点，且AB=1km，BC=2km，四个公司商量准备在矩形空地中规划一个三角形区域AMN种植花草，其中M，N分别在直线BC，CD上运动，∠MAN=30°，设∠BAM=α，当三角AMN的面积最小时，此时α=（　　）

• A． $\frac{π}{12}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{5π}{12}$

Answer 1

分析 由已知可求AM=$\frac{1}{cosα}$，AN=$\frac{2}{cos（\frac{π}{3}-α）}$，可求三角形面积，利用三角函数的恒等变换化简得到S_△AMN关于α的三角函数，利用正弦函数的性质结合α的范围即可计算得解．

解答 解：由于：∠BAM=α，
由题意可知，AM=$\frac{1}{cosα}$，AN=$\frac{2}{cos（\frac{π}{3}-α）}$，
则S_△AMN=$\frac{1}{2}$AM•ANsin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}×$$\frac{1}{cosα}$×$\frac{2}{cos（\frac{π}{3}-α）}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}co{s}^{2}α+\frac{\sqrt{3}}{2}sinαcosα}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}（\frac{1}{2}cos2α+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2α）+\frac{1}{4}}$
=$\frac{4}{2sin（2α+\frac{π}{6}）+1}$，
当$α=\frac{π}{6}$时，三角形AMN面积最小．
故选：B．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，三角形的面积公式，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．