Question

6．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=3；
（1）求四棱锥A₁-ABCD的体积；
（2）求异面直线A₁C与DD₁所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）四棱锥A₁-ABCD的体积${V}_{{A}_{1}-ABCD}$=$\frac{1}{3}{S}_{矩形ABCD}×A{A}_{1}$，由此能求出结果．
（2）由DD₁∥CC₁，知∠A₁CC₁是异面直线A₁C与DD₁所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A₁C与DD₁所成角的大小．

解答 解：（1）∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=3，
∴四棱锥A₁-ABCD的体积：
${V}_{{A}_{1}-ABCD}$=$\frac{1}{3}{S}_{矩形ABCD}×A{A}_{1}$=$\frac{1}{3}×AB×AD×A{A}_{1}$=$\frac{1}{3}×2×2×3$=4．
（2）∵DD₁∥CC₁，∴∠A₁CC₁是异面直线A₁C与DD₁所成角（或所成角的补角），
∵tan∠A₁CC₁=$\frac{{A}_{1}{C}_{1}}{C{C}_{1}}$=$\frac{\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}}{3}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴$∠{A}_{1}C{C}_{1}^{\;}$=$arctan\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．
∴异面直线A₁C与DD₁所成角的大小为$arctan\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$；

点评 本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注空间思维能力的培养．