Question

11．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=AC=2，$BC=2\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC；
（Ⅱ）如果M是棱PD上的点，N是棱AB上一点，AN=2NB，且三棱锥N-BMC的体积为$\frac{1}{6}$，求$\frac{PM}{MD}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结AC，在△ABC中，由已知边的关系可得AB⊥AC．再由AB∥CD，得AC⊥CD．结合PA⊥底面ABCD，得PA⊥CD，由线面垂直的判定可得CD⊥平面PAC，从而得到平面PCD⊥平面PAC；
（Ⅱ）设M点到面ABCD的距离为d，求出三角形BNC的面积，结合三棱锥N-BMC的体积为$\frac{1}{6}$求得d，再由三角形相似可得$\frac{PM}{MD}$的值．

解答 证明：（Ⅰ）连结AC，在△ABC中，AB=AC=2，$BC=2\sqrt{2}$，
∴BC²=AB²+AC²，则AB⊥AC．
∵AB∥CD，∴AC⊥CD．
又∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，
∵AC∩PA=A，∴CD⊥平面PAC，
∵CD⊆面PCD，∴平面PCD⊥平面PAC；
解：（Ⅱ）设M点到面ABCD的距离为d，
则${s_{△BNC}}=\frac{1}{2}BN•CA=\frac{2}{3}$．
由V_N-BMC=V_M-BNC=$\frac{1}{3}{S}_{△BNC}•d$=$\frac{1}{6}$，
得$d=\frac{3}{4}$．
∵$\frac{d}{PA}=\frac{DM}{PD}=\frac{MD}{PM+MD}=\frac{3}{8}$，
∴$\frac{PM}{MD}=\frac{5}{3}$．

点评 本题考查平面与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了等积法求多面体的体积，属中档题．