Question

3．如图所示，抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过点F且斜率存在的直线l交抛物线C于A，B两点，已知当直线l的斜率为1时，|AB|=8．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过点A作抛物线C的切线交直线x=$\frac{p}{2}$于点D，试问：是否存在定点M在以AD为直径的圆上？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意设出直线l的方程，与抛物线方程联立，再由抛物线的焦点弦长公式列式求得p，则抛物线方程可求；
（Ⅱ）设出A的坐标，得到过A点的切线方程，与抛物线方程联立，利用判别式等于0把切线的斜率用A的纵坐标表示，进一步求得D点坐标，得到以AD为直径的圆的方程，从而得到存在定点M（1，0）在以AD为直径的圆上．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得，直线l的方程为y=x-$\frac{p}{2}$，
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=x-\frac{p}{2}}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，消去y整理得${x}^{2}-3px+\frac{{p}^{2}}{4}=0$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=3p，
故|AB|=x₁+x₂+p=4p=8，∴p=2，
∴抛物线C方程为y²=4x；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线x=-$\frac{p}{2}$即x=-1，A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}，{y}_{1}$）（y₁≠0），
设切线方程为$y-{y}_{1}=k（x-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}）$，
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y-{y}_{1}=k（x-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去x得：$\frac{k}{4}{y}^{2}-y+{y}_{1}-\frac{k{{y}_{1}}^{2}}{4}=0$，
∵△=$1-k（{y}_{1}-\frac{k{{y}_{1}}^{2}}{4}）=0$，∴$\frac{{k}^{2}{{y}_{1}}^{2}}{4}-k{y}_{1}+1=0$，即k=$\frac{2}{{y}_{1}}$，
∴切线方程为$y-{y}_{1}=\frac{2}{{y}_{1}}（x-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}）$，则4x-$2{y}_{1}y+{{y}_{1}}^{2}=0$，
令x=-1，得$y=\frac{{y}_{1}}{2}-\frac{2}{{y}_{1}}$，即D（-1，$\frac{{y}_{1}}{2}-\frac{2}{{y}_{1}}$），
∴以AD为直径的圆为$（x+1）（x-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}）+（y-{y}_{1}）（y-\frac{{y}_{1}}{2}+\frac{2}{{y}_{1}}）=0$，
由抛物线的对称性，若以AD为直径的圆经过定点，则此定点一定在x轴上，
∴令y=0，得$（x-1）（x+2-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}）=0$，得x=1，
故存在定点M（1，0）在以AD为直径的圆上．

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆、直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．