Question

8．已知抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点过为F，过F且倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线l被E截得的线段长为8．
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）已知点C是抛物线上的动点，以C为圆心的圆过F，且圆C与直线x=$\frac{1}{2}$相交于A，B两点，求|FA|•|FB|的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得直线l的方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系可得两交点横坐标的和，再由抛物线的焦点弦长公式列式求得p，则抛物线方程可求；
（Ⅱ）写出圆C的方程，取x=-$\frac{1}{2}$可得关于y的方程，设出A，B的坐标，利用根与系数的关系可得A，B的纵坐标的和与积，代入|FA|•|FB|整理得答案．

解答 解：（Ⅰ）由题意，直线l的方程为y=x-$\frac{p}{2}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-\frac{p}{2}}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，消去y整理得${x}^{2}-3px+\frac{{p}^{2}}{4}=0$，
设直线l与抛物线E的交点的横坐标为x₁，x₂，则x₁+x₂=3p，
故直线l被抛物线E截得的线段长为x₁+x₂+p=4p=8，得p=2，
∴抛物线E的方程为y²=4x；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F（1，0），设C（x₀，y₀），则圆C的方程是$（x-{x}_{0}）^{2}+（y-{y}_{0}）^{2}=（{x}_{0}-1）^{2}+{{y}_{0}}^{2}$，
令x=-$\frac{1}{2}$，则${y}^{2}-2{y}_{0}y+3{x}_{0}-\frac{3}{4}=0$，又${{y}_{0}}^{2}=4{x}_{0}$，
△=$4{{y}_{0}}^{2}-12{x}_{0}+3=4{x}_{0}+3$=${{y}_{0}}^{2}+3$＞0恒成立，
设A（$-\frac{1}{2}，{y}_{3}$），B（$-\frac{1}{2}$，y₄），则y₃+y₄=2y₀，${y}_{3}{y}_{4}=3{x}_{0}-\frac{3}{4}$，
∴|FA|•|FB|=$\sqrt{{{y}_{3}}^{2}+\frac{9}{4}}•\sqrt{{{y}_{4}}^{2}+\frac{9}{4}}$=$\sqrt{（{y}_{3}{y}_{4}）^{2}+\frac{9}{4}（{{y}_{3}}^{2}+{{y}_{4}}^{2}）+\frac{81}{16}}$
=$\sqrt{（3{x}_{0}-\frac{3}{4}）^{2}+\frac{9}{4}[4{{y}_{0}}^{2}-2（3{x}_{0}-\frac{3}{4}）]+\frac{81}{16}}$=$\sqrt{9{{x}_{0}}^{2}+18{x}_{0}+9}=3|{x}_{0}+1|$，
∵x₀≥0，∴|FA|•|FB|∈[3，+∞）．

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查了直线与圆、抛物线位置关系的应用，训练了函数值域的求法，考查计算能力，属中档题．