Question

17．（1）求与双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$共渐近线，且过点（3，4）的双曲线的标准方程；
（2）过椭圆$M：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$右焦点的直线$x+y-\sqrt{3}=0$交M于A，B两点，O为坐标原点，P为AB的中点，且OP的斜率为$\frac{1}{2}$，求椭圆M的方程．

Answer 1

分析 （1）设与$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$共渐近线的双曲线的方程为$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=λ$，将点（3，4）代入双曲线中，求出λ=-3，
即可得到双曲线的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），将A，B坐标代入椭圆，利用平方差法，由直线AB的斜率为-1可得，求出OP的斜率为$\frac{y_0}{x_0}=\frac{1}{2}$，推出a²=2b²，通过$c=\sqrt{3}$，求解即可．

解答 解：（1）设与$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$共渐近线的双曲线的方程为$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=λ$，
将点（3，4）代入双曲线中，可得$\frac{9}{9}-\frac{16}{4}=λ$，即λ=-3，
代入$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=λ$可得，双曲线的方程为$\frac{y^2}{12}-\frac{x^2}{27}=1$．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
将A，B坐标代入椭圆可得，$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1（1）}\\{\frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}=1（2）}\end{array}}\right.$，
（1）-（2）可得，$\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}=-\frac{b^2}{a^2}•\frac{x_0}{y_0}$，
由直线AB的斜率为-1可得，$-\frac{b^2}{a^2}•\frac{x_0}{y_0}=-1$，而OP的斜率为$\frac{y_0}{x_0}=\frac{1}{2}$，
所以a²=2b²，
直线$x+y-\sqrt{3}=0$过椭圆的右焦点，可得$c=\sqrt{3}$，
由a²=b²+c²，得到a²=6，b²=3，
所以椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$．

点评 本题考查直线与双曲线的位置关系，直线与椭圆的位置关系的应用，双曲线方程以及椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力．