Question

20．已知动圆C过点F（1，0），且与直线x=-1相切．
（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹方程；并求当圆C的面积最小时的圆C₁的方程；
（Ⅱ）设动圆圆心C的轨迹曲线E，直线y=$\frac{1}{2}$x+b与圆C₁和曲线E交于四个不同点，从左到右依次为A，B，C，D，且B，D是直线与曲线E的交点，若直线BF，DF的倾斜角互补，求|AB|+|CD|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意圆心为M的动圆M过点（1，0），且与直线x=-1相切，利用抛物线的定义，可得圆心M的轨迹是以（1，0）为焦点的抛物线；圆心C在原点时，圆C的面积最小，可得圆C₁的方程；
（Ⅱ）先求出b，再利用韦达定理，结合|AB|+|CD|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$（x₁-x₃）+$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$（x₂-x₄）=$\frac{\sqrt{5}}{2}$（x₁+x₂-x₃-x₄），可得结论．

解答 解：（I）∵动圆圆心到点F（1，0）的距离等于到定直线x=-1的距离，
∴动圆圆心的轨迹C为以F为焦点，以直线x=-1为准线的抛物线，
∴动圆圆心的轨迹方程为y²=4x．
圆心C在原点时，圆C的面积最小，此时圆C₁的方程为x²+y²=1；
（II）F（1，9），设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），A（x₃，y₃），C（x₄，y₄），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+b}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得x²+（4b-16）x+4b²=0，△＞0，b＜2，
x₁+x₂=16-4b，x₁x₂=4b²，
∵直线BF，DF的倾斜角互补，
∴k_BF+k_DF=0，
∵k_BF+k_DF=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$，
∴y₂（x₁-1）+y₁（x₂-1）=0，
∴x₁x₂+（b-$\frac{1}{2}$）（x₁+x₂）-2b=0，
代入解得b=$\frac{1}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得5x²+2x-25=0，∴x₃+x₄=-$\frac{2}{5}$，
∴|AB|+|CD|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$（x₁-x₃）+$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$（x₂-x₄）=$\frac{\sqrt{5}}{2}$（x₁+x₂-x₃-x₄）=$\frac{36\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．