Question

10．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，若数列{log${\;}_{\frac{1}{3}}$a_n}是公差为-1的等差数列，且a₂+2是a₁，a₃的等差中项．
（1）证明数列{a_n}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）若T_n是数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和，若T_n＜M恒成立，求实数M的取值范围．

Answer 1

分析 （1）数列{log${\;}_{\frac{1}{3}}$a_n}是公差为-1的等差数列，可得log${\;}_{\frac{1}{3}}$a_n=$lo{g}_{\frac{1}{3}}$a₁-（n-1），可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=3^n-1．即可证明数列{a_n}是以3为公比的等比数列．由a₂+2是a₁，a₃的等差中项，可得2（a₂+2）=a₁+a₃，解得a₁．
（2）由（1）可得：$\frac{1}{{a}_{n}}$=$（\frac{1}{3}）^{n-1}$．可得T_n，进而得出M的取值范围．

解答 （1）证明：∵数列{log${\;}_{\frac{1}{3}}$a_n}是公差为-1的等差数列，∴log${\;}_{\frac{1}{3}}$a_n=$lo{g}_{\frac{1}{3}}$a₁-（n-1），∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=3^n-1．
∴n≥2时，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{{3}^{n-1}}{{3}^{n-2}}$=3，数列{a_n}是以3为公比的等比数列．
∴a₂=3a₁，a₃=9a₁．
∵a₂+2是a₁，a₃的等差中项，∴2（a₂+2）=a₁+a₃，
∴2（3a₁+2）=a₁+9a₁，解得a₁=1．
∴数列{a_n}是以3为公比，1为首项的等比数列．
∴a_n=3^n-1．
（2）解：$\frac{1}{{a}_{n}}$=$（\frac{1}{3}）^{n-1}$．
∴T_n=$\frac{1-（\frac{1}{3}）^{n}}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{2}[1-（\frac{1}{3}）^{n}]$．
∵T_n＜M恒成立，∴$M≥\frac{3}{2}$．
∴实数M的取值范围是$[\frac{3}{2}，+∞）$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的定义通项公式及其求和公式、数列的单调性、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．