Question

1．已知函数f（x）=|x-2|
（1）解不等式：f（x+1）+f（x+3）＜4；
（2）已知a＞2，求证：?x∈R，f（ax）+af（x）＞2恒成立．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值化简不等式，通过x的范围，推出多项式不等式，求解即可．
（2）利用绝对值的几何意义，转化求解最值即可．

解答 解：（1）函数f（x）=|x-2|，
f（x+1）+f（x+3）＜4，即|x-1|+|x|＜4，
①当x≤0时，不等式为1-x-x＜4，即$x＞-\frac{3}{2}$，∴$-\frac{3}{2}＜x≤0$是不等式的解；
②当0＜x≤1时，不等式1-x+x＜4，即1＜4恒成立，∴0＜x≤1是不等式的解；
③当x＞1时，不等式为x-1+x＜4，即$x＜\frac{5}{2}$，∴$1＜x＜\frac{5}{2}$是不等式的解，
综上所述，不等式的解集为$1＜x＜\frac{5}{2}$．
（2）证明：∵a＞2，
∴f（ax）+af（x）=|ax-2|+a|x-2|=|ax-2|+|ax-2a|=|ax-2|+|2a-ax|≥|ax-2+2a-ax|=|2a-2|＞2
∴?x∈R，f（ax）+af（x）＞2恒成立．

点评 本题考查绝对值的几何意义，不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．