Question

16．f（x）是定义在R上函数，满足f（x）=f（-x）且x≥0时，f（x）=x³，若对任意的x∈[2t-1，2t+3]，不等式f（3x-t）≥8f（x）恒成立，则实数t的取值范围是t≤-3或t≥1或t=0．

Answer 1

分析 由题意f（x）为R上偶函数，f（x）=x³ 在x＞0上为单调增函数知|3x-t|≥|2x|，转化为对任意x∈[2t-1，2t+3]，5x²-6xt+t²≥0  恒成立问题．

解答 解：f（x）为R上偶函数，f（x）=x³ 在x＞0上为单调增函数，
f（3x-t）≥8f（x）=f（2x）；
|3x-t|≥|2x|；
∴（3x-t）²≥（2x）²；
化简后：5x²-6xt+t²≥0  ①；
（1）当t＞0时，①式解为：x≤$\frac{t}{5}$或 x≥t；
对任意x∈[2t-1，2t+3]，①式恒成立，则需：t≤2t-1
故t≥1；
（2）当t＜0时，①是解为：x≤t 或 x≥$\frac{t}{5}$；
对任意x∈[2t-1，2t+3]，①式恒成立，则需：2t+3≤t
故t≤-3；
（3）当t=0时，①式恒成立；
综上所述，t≤-3或t≥1或t=0．
故答案为t≤-3或t≥1或t=0．

点评 本题主要考查了函数的基本性质，以及函数恒成立问题，属中等题．