Question

4．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若b=1，$\frac{1}{2}sinB=cos（{B+C}）sinC$，则当角B取最大值时，△ABC的周长为（　　）

• A． 3
• B． $2+\sqrt{2}$
• C． $2+\sqrt{3}$
• D． $3+\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据题意由正弦定理得出$\frac{1}{2}$×1=cos（B+C）•c，cosA＜0，A为钝角，cosAcosC≠0；
由sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=-2cosAsinC得出tanA=-3tanC，且tanC＞0；
由tanB=-tan（A+C）=-$\frac{tanA+tanC}{1-tanAtanC}$=$\frac{2}{\frac{1}{tanC}+3tanC}$≤$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$求出B取得最大值$\frac{π}{6}$；
由此求出a、b、c的值，得出△ABC的周长．

解答 解：△ABC中，b=1，$\frac{1}{2}sinB=cos（{B+C}）sinC$，
∴$\frac{1}{2}$×1=cos（B+C）•c，即cosA=-$\frac{1}{2c}$＜0，
∴A为钝角，∴cosAcosC≠0；
由sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=-2cosAsinC，
可得tanA=-3tanC，且tanC＞0，
∴tanB=-tan（A+C）=-$\frac{tanA+tanC}{1-tanAtanC}$=$\frac{-（-2tanC）}{1+{3tan}^{2}C}$
=$\frac{2}{\frac{1}{tanC}+3tanC}$≤$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
当且仅当tanC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时取等号；
∴B取得最大值$\frac{π}{6}$时，c=b=1，C=B=$\frac{π}{6}$；
∴A=$\frac{2π}{3}$，a²=b²+c²-2bccosA=3，
∴a=$\sqrt{3}$；
∴三角形的周长为a+b+c=2+$\sqrt{3}$．
故选：C．

点评 本题考查了正弦定理、和差公式、基本不等式的应用问题，是综合性题目．