Question

14．已知A为锐角△ABC的内角，且 sinA-2cosA=a（a∈R）．
（Ⅰ）若a=-1，求tanA的值；
（Ⅱ）若a＜0，且函数f（x）=（sinA）•x²-（2cosA）•x+1在区间[1，2]上是增函数，求sin²A-sinA•cosA的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用同角三角函数的基本关系，求得sinA和cosA的值，可得tanA的值．
（2）由题意可得1≤tanA＜2，化简要求式子为-$\frac{1}{t+\frac{2}{t}-2}$，再利用函数的单调性求得它的范围．

解答 解：（Ⅰ）锐角△ABC中，a=-1，由题意可得$\left\{{\begin{array}{l}{sinA-2cosA=-1}\\{{{sin}^2}A+{{cos}^2}A=1}\end{array}}\right.$，
求得$\left\{{\begin{array}{l}{cosA=\frac{4}{5}}\\{sinA=\frac{3}{5}}\end{array}}\right.$，或$\left\{{\begin{array}{l}{cosA=0}\\{sinA=1}\end{array}}\right.$（舍去），∴$tanA=\frac{3}{4}$．
（Ⅱ）若a＜0，由题意可得sinA-2cosA＜0，得tanA＜2，又$\frac{cosA}{sinA}≤1$，tanA≥1，
∴1≤tanA＜2，∴${sin^2}A-sinA•cosA=\frac{{{{sin}^2}A-sinA•cosA}}{{{{sin}^2}A+{{cos}^2}A}}=\frac{{{{tan}^2}A-tanA}}{{{{tan}^2}A+1}}$=$-\frac{1+tanA}{{{{tan}^2}A+1}}+1$，
令t=tanA+1，2≤t＜3，∴${sin^2}A-sinA•cosA=-\frac{t}{{{t^2}-2t+2}}+1=-\frac{1}{{t+\frac{2}{t}-2}}+1$，
∵y=$t+\frac{2}{t}-2$在[2，3）上递增，∴$1≤t+\frac{2}{t}-2＜\frac{5}{3}$，∴$0≤-\frac{1}{{t+\frac{2}{t}-2}}+1＜\frac{2}{5}$．
即sin²A-sinA•cosA的取值范围为$[0，\frac{2}{5}）$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，利用函数的单调性求函数的值域，属于中档题．