Question

2．与椭圆$C：\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$共焦点且过点$P（3，\sqrt{2}）$的双曲线方程为（　　）

• A． ${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$
• B． $\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$
• C． $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{6}=1$
• D． $\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{2}=1$

Answer 1

分析 根据题意，由椭圆的方程分析可得其焦点坐标为（±2，0），设要求双曲线的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，分析可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{{a}^{2}}-\frac{2}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}+{b}^{2}=4}\end{array}\right.$，解可得a²、b²的值，将其代入双曲线的方程即可得答案．

解答 解：根据题意，椭圆的方程为$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$，
其焦点在x轴上，且c²=9-5=4，则其焦点坐标为（±2，0），
设要求双曲线的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
又由过点$P（3，\sqrt{2}）$且焦点坐标为（±2，0），
则有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{{a}^{2}}-\frac{2}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}+{b}^{2}=4}\end{array}\right.$
解可得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=3}\\{{b}^{2}=1}\end{array}\right.$，
故要求双曲线方程为$\frac{x^2}{3}$-y²=1；
故选：B．

点评 本题考查双曲线的几何性质，关键是求出椭圆的焦点．