Question

17．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x		$\frac{π}{3}$		$\frac{5π}{6}$
Asin（ωx+φ）	0	$\sqrt{2}$		-$\sqrt{2}$	0

（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-$\frac{π}{2}$，0]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用五点法作图，将表格数据补充完整，并求得函数f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式．
（Ⅱ）根据x的取值范围，求出2x-$\frac{π}{6}$的取值范围，计算sin（2x-$\frac{π}{6}$）的取值范围，即得f（x）的最大最小值．

解答 （本题满分为12分）
解  （Ⅰ）根据表中已知数据可得：A=$\sqrt{2}$，$\frac{π}{3}$ω+φ=$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$ω+φ=$\frac{3π}{2}$，
解得ω=2，φ=-$\frac{π}{6}$．数据补全如下表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$	$\frac{13π}{12}$
Asin（ωx+φ）	0	$\sqrt{2}$	0	-$\sqrt{2}$	0

且函数表达式为f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）∵x∈[-$\frac{π}{2}$，0]时，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{7π}{6}$，-$\frac{π}{6}$]，
当2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$，即x=-$\frac{π}{6}$时，sin（2x-$\frac{π}{6}$）=-1，
∴f（x）取得最小值-$\sqrt{2}$；
当2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{7π}{6}$，即x=-$\frac{π}{2}$时，sin（2x-$\frac{π}{6}$）=sin（-$\frac{7π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）取得最大值$\sqrt{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴函数f（x）在区间[-$\frac{π}{2}$，0]上的最大值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，最小值是-$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了用五点法作函数f（x）=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的最值，属于基础题．